一、概述
半導體參數分析儀的傅立葉FFT分析可以將時域信號與頻域信號進行轉換。快速傅立葉變換（FFT）計算在獲取時間相關的直流信號（如電流、電壓）并將其轉換為頻率和基于交流的參數，如電流譜密度、傅立葉分析可以將時域信號與頻域信號進行轉換。快速傅立葉變換（FFT）計算在獲取時間相關的直流信號（如電流、電壓）并將其轉換為頻率和基于交流的參數，如電流譜密度、1/f噪聲、熱噪聲和交流阻抗）時非常有用。源測量單元 （SMU）和脈沖測量單元（PMU）是4200A-SCS參數分析儀的模塊，用于在時域測量和加載輸出電流或電壓。儀器對這些基于時間的測量可以通過FFT計算轉換為頻域的參數。
從Clarius+ V1.9軟件發布開始，4200A-SCS參數分析儀加載了半導體參數分析儀的傅立葉FFT分析功能，能夠自動對時域測量進行基于頻率的計算，而無需下載數據并在單獨的工具中執行分析。并且能夠更快地獲得重要的測試結果。本文給出了這些功能的說明以及FFT參數提取的一些典型案例，包括使用SMU和PMU進行電流譜密度測量，電阻熱噪聲測量以及RC電路的交流阻抗計算。
二、Clarius公式編輯器中的FFT相關功能
Clarius軟件有一個內置的公式編輯器，能夠對測試數據和其他計算結果進行數據計算。公式編輯器提供了各種計算函數、常用數學運算符和常用常量。從Clarius V1.9版本開始，FFT公式已添加到編輯器中。圖1顯示了帶有FFT的函數編輯器的截圖。
圖1. 在Clarius軟件的函數編輯器中的FFT功能
表1列出了內置的FFT函數及其描述。這些方程對輸入數組的實部和虛部行FFT變換或FFT逆變換，然后獲得對應的輸出實部或虛部分量。其中兩個公式從輸入時間數組返回頻率數組。平滑函數通過將高頻分量歸零，對輸入數組進行數字濾波。
表1. FFT公式和描述
在使用FFT公式時，z -好以均勻間隔的時間間隔獲取數據。當將時間數組轉換為頻率數組時，FFT_Freq函數允許用戶輸入一個容差參數，以確定連續間隔的時間數據是否均勻間隔。如果輸入時間數組中兩點之間的差值（以百分比表示）大于容差值，則會將“#REF"返回到Sheet。
計算出的實部和虛部數據數組的輸出數據量將是2的冪次方。因此,理想的采集數據點數應該是2的冪次方，比如64、128、256、512、1024等。如果數據點的數量不是2的冪次方，則返回的點數將被減少，使其等于2的冪次方。
三、使用半導體參數分析儀的傅立葉FFT測試示例
Clarius庫中的多個測試，包含了使用FFT公式將基于時間的電流或電壓測量轉換為頻率相關參數的示例。這些例子包括SMU電流譜密度、電阻器的熱噪聲、PMU電流譜密度和RC電路的交流阻抗。
（一）SMU電流譜密度與頻率測量
Clarius庫中的SMU電流譜密度（smu-isd）測試，使用SMU進行的隨時間變化的直流電流測量，從中得出電流譜密度與頻率的相關函數。根據設備和應用的不同，該測試可能能夠用于導出包括設備的電流噪聲，1/f 噪聲。
在本測試中，4201-SMU使用Normal速度模式，在三個不同的電流范圍 (1mA，1µA和1nA) 下，測試開路的直流電流與時間關系。SMU的Force HI和Sense HI端子上需要加蓋金屬帽。FFT函數將會導出電流、功率、頻率、帶寬和電流譜密度的實分量和虛分量，如圖2所示。
圖2. smu-isd 測試公式
三次測試運行得到的電流譜密度與頻率曲線如圖3所示。因為測量的是用開路的電流，所以基本上是推導出來的是SMU的本底噪聲。頻率會根據定時設置而發生變化。
這些圖表顯示的是電流噪聲譜密度，以 A/sqrt(Hz) 為單位，而不是以單次，安培為單位，直流測量的噪聲。從快速傅立葉變換的數學表達式來看，電流頻譜密度在這里定義為：
ISD = sqrt(2*PWR/(PTS*BW))
其中，
PWR是電流幅度的平方，或者PWR= Im(I)^2 + Re(I)^2
BW是時間采樣的帶寬
PTS是點數，它應該是2的冪次方
帶寬 (BW) 定義為1/dt，其中dt為兩次測量之間的時間間隔，假設所有測量之間的時間間隔為恒定值。
圖3. SMU不同檔位的電流譜密度與頻率
測量速度在測試設置窗口中配置。雖然不能直接設置測量時間間隔，但測量時間、帶寬和測試頻率都是已知的，并會返回到列表中。在設置speed模式時，通常需要在每個單次直流測量的速度和噪聲之間進行權衡。測量速度越快，噪聲就越大。對于總測試時間較長的測量，帶寬較小，因此噪聲也較小。
本測試中的測量是在固定的電流量程上進行的。使用固定量程，而不是自動量程，這對于保持每個讀數的測量時間恒定是非常重要的，這是FFT計算所需要的。
之所以使用sampling測試模式，是因為加載了一個恒定的偏置。在該模式下，必須輸入讀數的個數。盡管在使用FFT計算時需要大量的讀數，但這并不實用。
在這個測試中，讀取了1024個讀數，因為1024是2的冪次方。表2列出了SMU電流譜密度測試的公式。
表2. SMU電流譜密度測試公式
（二）電阻的熱噪聲
電阻的熱噪聲或約翰-遜噪聲可以通過電阻上的直流電壓與時間的測量來計算。測試庫中的resistor-noise測試項測量0A的直流電壓與時間的函數，并計算在1GΩ電阻上的實部和虛部的電壓數組、功率、頻率、帶寬和電壓譜密度。電阻于SMU1和GNDU之間。一旦執行測試，熱噪聲（VSD）被繪制為頻率的函數，如圖4所示。
圖4. 1GΩ電阻的熱噪聲
在這個測試中，直流電壓測量是在200mV 量程上進行的，在1nA量程上施加0A。計算1GΩ電阻的噪聲電流和約翰-遜噪聲。1GΩ電阻的熱噪聲理論計算值約為4E-6Vrms，使用公式：vn=sqrt(4*k*TEMP* 1e9)。
電阻器熱功率噪聲的實際公式為：
P=4*k*TEMP*BW
其中，
k為玻爾茲曼常數，1.38 E-23 J/K
TEMP為環境溫度 (K)
BW為帶寬 (Hz)
表3列出了resistor-noise測試的公式描述。時間、量程、點數和其他設置的信息與導出SMU電流譜密度的描述類似。
表3. 電阻熱噪聲測試相關公式
三、使用PMU獲取電流譜密度
和SMU一樣，4225-PMU的電流譜密度也可以通過電流和時間的測量以及FFT計算得出。在測試庫中可以找到pmu-isd，在100μA和100nA范圍內測試計算 PMU 開路的電流譜密度。這個測試是通過使用PMU_freq_time_ulib用戶庫中的PMU_sampleRate用戶模塊生成的。使用PMU測試，我們可以在CH1和CH2上加載電壓偏置，選擇CH2的電流范圍，并指-定總測試時間和采樣率。pmmu-isd測試的配置如圖5所示。
圖5. pmu-isd測試配置視圖
與 SMU 電流譜密度測試一樣，公式編輯器有幾個公式可以推導出測試電流的帶寬、實部分量和虛部分量、功率、頻率和電流譜密度。圖6顯示了100µA和100nA檔位下電流譜密度與頻率的函數曲線。由于數據是用開路采集的，因此這些是在固定電流量程上以可選采樣率測量到的PMU本底噪聲。
圖6. PMU電流譜密度
在configure視圖中，輸入總測試時間和采樣率。點數等于總測試時間乘以采樣率。選擇輸入參數，由于將對數據執行FFT計算，使點數總數為2的幕次方。為了獲得Z佳的結果，至少應該使用20個點或更多。對于本次測試，帶寬設置為1024HZ。
表4. PMU譜密度測試相關公式
四、測定RC串聯電路的交流阻抗
使用雙通道4225-PMU結合內置的FFT計算公式，可以提取RC電路的AC阻抗參數。PMU在時域測量電流和電壓，Clarius公式編輯器中的FFT通過計算將這些測試結果轉換為頻域的相關參數。
例如，可以在PMU的CH1和CH2之間連接串聯 RC電路，如圖7所示。CH1輸出周期性脈沖波形 (ACV)，CH2測量產生的電流 (imeas)。通過 FFT 計算得到測試電路的AC阻抗參數，如串聯電阻(Rs)和電抗 (Xs)，以及阻抗的實部和虛部。電容(Cs)和耗散因子(D)可以用Rs和Xs推導出來。
圖7. 用于測量串聯RC電路AC阻抗的PMU連接
R-C Circuit AC Impedance Calculations (rs-cs-ac-impedance) 測試項，包含RC串聯電路的AC參數。在這個測試示例中，PMU的CH1輸出一個具有指-定幅度和測試頻率的脈沖波形。還指-定了周期數和每個周期上的測試點數。在公式編輯器中配置計算，以提取100kΩ，10nF，R-C串聯電路的AC阻抗參數。此測試的配置如圖8所示。
圖8. rs-cs-ac-impedance測試的配置視圖
在此測試中，在配置視圖中輸入CH1的電壓脈沖幅值 (ACV)、CH2的電流測量范圍 (irange)、測試頻率 (FREQ)、2^n個周期和2^n個點。表5列出了本次測試的輸入參數。基于這些輸入參數，PMU構建具有電流測量值的電壓段波形。
表5. rs-cs-ac-immpedance測試輸入參數
在對周期信號進行FFT計算時，通常需要大量的周期然而，獲取大量數據通常是不現實的。為了確保足夠的精度，至少需要測試32(2^5)個周期，每個周期有32(2^5)個數據點。在rs-cs-ac-impedance測試中,周期數和每個周期的點數都是 32。
如果想同時提取串聯電阻(RS)和電容(Cs)，最好選擇近似為：F=1/RC的測試頻率。不過，這可能需要些實驗。通常在測量電容或電阻之間需要進行權衡。更精準的電容測量需要更小的系數D，D<0.1，而更精準的電阻測量需要更高的系數D，D>1。當需要足夠的精度提取同時獲取RS和Cs時，選擇F=1/RC提供了一個權衡方案。
一旦執行測試，返回到 Sheet相等的點數可以通過以下公式計算:
每次測試的總點數=循環次數 x 每個循環的點數
對于本次測試，總點數=32x32=1024。CH1上的測量脈沖電壓(vforce)，CH2的電壓(vlow)，時間和 CH2上的測量電流(imeas)的數組返回到表中。輸出參數的描述參考在表6。
表6. rs-cs-ac-impedance測試輸出參數
從返回值中，可以提取許多AC參數。對于本次測試，RC串聯電路的所有計算參數如表7所示。
表7. 計算參數
所有輸出和計算參數也返回到列表中，并在Analyze視圖中繪制圖形，如圖9所示。數據可以在時域和頻域上繪制。左圖為電壓和電流隨時間變化的函數曲線。右圖為電壓 (VPWR) 和電流 (IPWR) 幅值的平方的數組與頻率的函數曲線。導出主諧波頻率處的Cs、Rs和D，并出現在表格的Z后三列中。
圖9. 將數據在時域和頻域進行繪制
rs-cs-ac-impedance測試項使用PMU_freq_time_ulib用戶庫中的pmu_waveform用戶模塊。此用戶模塊還可用于執行其他需要的特定測試頻率脈沖波形的測試。
五、結論
半導體參數分析儀對直流電流和電壓測量執行FFT計算的能力使許多AC參數的提取成為可能，包括電流譜密度、熱噪聲和AC阻抗。這使得我們能夠更快地獲得測試結果，因為不再需要單獨的工具來執行半導體參數分析儀的傅立葉FFT分析。
